Os pitagóricos pensavam que os números eram constituídos de unidades e que as unidades, representadas por pontos, tinham dimensões espaciais. Segundo esta idéia, um ponto é uma unidade que tem posição, ou seja, que tem dimensões, quaisquer que sejam. Essa teoria do número é bastante adequada para se lidar com números racionais. É sempre possível escolher como unidade um número racional, de tal modo que quaisquer números dos números racionais sejam múltiplos integrais da unidade. Mas a teoria chega a um impasse quando se trata dos números irracionais. Eles não podem ser medidos assim. Vale notar que o termo grego que foi traduzido como “irracional” significava sem medida, em vez de privado de razão, pelo menos para Pitágoras. Para superar esta dificuldade, os pitagóricos inventaram um método de descobrir esses ardilosos números através de uma seqüência de aproximações. Trata-se da construção de frações contínuas. Nessa seqüência, sucessivos passos se aproximam e ultrapassam alternadamente a marca, reduzindo sempre os valores. Mas o processo é essencialmente infinito. O número irracional almejado é o limite do processo. O objetivo do exercício consiste em alcançarmos aproximações racionais tão próximas do limite quanto desejarmos. Na verdade, esse traço é o mesmo que aparece na concepção moderna de limite.

Assim, a partir destas linhas pode-se elaborar uma teoria do número. (…)

Outro legado importante da matemática pitagórica é a teoria das idéias, adotada e desenvolvida posteriormente por Sócrates. Também foi efetivamente criticada pelos eleatas, se é que Platão é um guia confiável. Já demos indícios da origem matemática dessa teoria. Tomemos, por exemplo, o teorema de Pitágoras. Seria inútil desenharmos um diagrama extremamente acurado de um triângulo retângulo e os quadrados sobre seus catetos, e em seguida medir-lhes as áreas. Por mais acurado que fosse o desenho, não seria perfeitamente acurado, e nunca poderia ser. Não são diagramas assim que fornecem a prova do teorema. Para isso necessitamos de um diagrama perfeito, do tipo que se pode imaginar mas não desenhar. Todo desenho real precisa ser uma cópia mais ou menos fiel da imagem mental. Esse é o fardo da teoria das idéias, parte bem conhecida da doutrina dos últimos pitagóricos.

(…) Pitágoras desenvolveu um princípio de harmonia a partir da descoberta das cordas afinadas. Daí se originam as teorias médicas que consideram a saúde como uma espécie de equilíbrio entre contrários. Os últimos pitagóricos avançaram um passo e aplicaram a noção de harmonia à alma. De acordo com este ponto de vista, a alma é uma afinação do corpo, de forma que a alma se torna uma função da condição bem ordenada do corpo. Quando a organização do corpo falha, o corpo se desintegra e o mesmo acontece com a alma. Poderíamos imaginar a alma como a corda estirada de um instrumento musical, e o corpo como a estrutura na qual está presa. Se a estrutura for destruída, a corda afrouxa e perde a afinação. Este ponto de vista está em total desacordo com as primeiras noções pitagóricas sobre o assunto. Parece que Pitágoras acreditava na transmigração das almas enquanto, nesta visão mais recente, as almas morrem, tão seguramente quanto os corpos.

Na astronomia, os últimos pitagóricos desenvolveram uma hipótese muito arrojada segundo a qual o centro do mundo não é a Terra, mas um fogo central. A terra é um planeta que gira em torno desse fogo, invisível para nós porque o nosso lado da Terra aponta sempre para fora desse centro. O sol também era considerado um planeta, que recebe a luz mediante reflexo do fogo central. Foi um grande passo rumo à hipótese heliocêntrica mais tarde desenvolvida por Aristarco.

(RUSSELL, Bertrand. História do Pensamento Ocidental)